Nesta lição veremos o movimento curvilíneo, ou seja, o movimento uniforme de um corpo em círculo. Aprenderemos o que é velocidade linear, aceleração centrípeta quando um corpo se move em círculo. Também apresentaremos grandezas que caracterizam o movimento rotacional (período de rotação, frequência de rotação, velocidade angular) e conectaremos essas grandezas entre si.
Por movimento circular uniforme queremos dizer que o corpo gira no mesmo ângulo durante qualquer período igual de tempo (ver Fig. 6).
Arroz. 6. Movimento uniforme em círculo
Ou seja, o módulo de velocidade instantânea não muda:
Essa velocidade é chamada linear.
Embora a magnitude da velocidade não mude, a direção da velocidade muda continuamente. Vamos considerar os vetores velocidade nos pontos A E B(ver Fig. 7). Eles são direcionados em direções diferentes, portanto não são iguais. Se subtrairmos da velocidade no ponto B velocidade no ponto A, obtemos o vetor .
Arroz. 7. Vetores de velocidade
A razão entre a mudança na velocidade () e o tempo durante o qual essa mudança ocorreu () é a aceleração.
Portanto, qualquer movimento curvilíneo é acelerado.
Se considerarmos o triângulo de velocidades obtido na Figura 7, então com um arranjo de pontos muito próximo A E B entre si, o ângulo (α) entre os vetores velocidade será próximo de zero:
Sabe-se também que este triângulo é isósceles, portanto os módulos de velocidade são iguais (movimento uniforme):
Portanto, ambos os ângulos na base deste triângulo estão indefinidamente próximos de:
Isso significa que a aceleração direcionada ao longo do vetor é na verdade perpendicular à tangente. Sabe-se que uma linha em um círculo perpendicular a uma tangente é um raio, portanto a aceleração é direcionada ao longo do raio em direção ao centro do círculo. Essa aceleração é chamada centrípeta.
A Figura 8 mostra o triângulo de velocidade discutido anteriormente e um triângulo isósceles (dois lados são os raios do círculo). Esses triângulos são semelhantes porque possuem ângulos iguais formados por linhas perpendiculares entre si (o raio e o vetor são perpendiculares à tangente).
Arroz. 8. Ilustração para derivação da fórmula da aceleração centrípeta
Segmento de linha ABé movimento(). Estamos considerando o movimento uniforme em um círculo, portanto:
Vamos substituir a expressão resultante por AB na fórmula de similaridade de triângulos:
Os conceitos “velocidade linear”, “aceleração”, “coordenada” não são suficientes para descrever o movimento ao longo de uma trajetória curva. Portanto, é necessário introduzir grandezas que caracterizem o movimento rotacional.
1. Período de rotação (T ) é chamado de tempo de uma revolução completa. Medido em unidades SI em segundos.
Exemplos de períodos: A Terra gira em torno de seu eixo em 24 horas () e em torno do Sol - em 1 ano ().
Fórmula para cálculo do período:
onde está o tempo total de rotação; - número de revoluções.
2. Frequência de rotação (n ) - o número de revoluções que um corpo realiza por unidade de tempo. Medido em unidades SI em segundos recíprocos.
Fórmula para encontrar frequência:
onde está o tempo total de rotação; - número de revoluções
Frequência e período são quantidades inversamente proporcionais:
3. Velocidade angular () chame a razão entre a mudança no ângulo através do qual o corpo girou e o tempo durante o qual essa rotação ocorreu. Medido em unidades SI em radianos divididos por segundos.
Fórmula para encontrar a velocidade angular:
onde está a mudança de ângulo; - tempo durante o qual ocorreu a rotação do ângulo.
Movimento uniforme em torno de um círculo- este é o exemplo mais simples. Por exemplo, a extremidade do ponteiro de um relógio se move em círculo ao redor de um mostrador. A velocidade de um corpo movendo-se em círculo é chamada velocidade linear.
Com o movimento uniforme de um corpo em círculo, o módulo da velocidade do corpo não muda com o tempo, ou seja, v = const, e apenas a direção do vetor velocidade muda, neste caso, não há mudança (a r =; 0), e a mudança no vetor velocidade na direção é caracterizada por uma quantidade chamada aceleração centrípeta() um n ou um CS. Em cada ponto, o vetor de aceleração centrípeta é direcionado para o centro do círculo ao longo do raio.
O módulo de aceleração centrípeta é igual a
uma CS =v 2 / R
Onde v é a velocidade linear, R é o raio do círculo
Arroz. 1.22. Movimento de um corpo em círculo.
Ao descrever o movimento de um corpo em círculo, usamos ângulo de rotação do raio– o ângulo φ através do qual, durante o tempo t, gira o raio traçado do centro do círculo até o ponto em que o corpo em movimento está localizado naquele momento. O ângulo de rotação é medido em radianos. igual ao ângulo entre dois raios de um círculo, o comprimento do arco entre os quais é igual ao raio do círculo (Fig. 1.23). Ou seja, se l = R, então
1 radiano= l / R
Porque circunferência igual a
eu = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Por isso
1 radical. = 57,2958º = 57º 18’
Velocidade angular o movimento uniforme de um corpo em círculo é o valor ω, igual à razão entre o ângulo de rotação do raio φ e o período de tempo durante o qual esta rotação é feita:
ω=φ/t
A unidade de medida da velocidade angular é radiano por segundo [rad/s]. O módulo de velocidade linear é determinado pela razão entre o comprimento do caminho percorrido l e o intervalo de tempo t:
v=l/t
Velocidade linear com movimento uniforme em torno de um círculo, ele é direcionado ao longo de uma tangente em um determinado ponto do círculo. Quando um ponto se move, o comprimento l do arco de círculo percorrido pelo ponto está relacionado ao ângulo de rotação φ pela expressão
eu = Rφ
onde R é o raio do círculo.
Então, no caso de movimento uniforme do ponto, as velocidades lineares e angulares estão relacionadas pela relação:
v = l / t = Rφ / t = Rω ou v = Rω
Arroz. 1.23. Radiano.
Período de circulação– este é o período de tempo T durante o qual o corpo (ponto) dá uma volta ao redor do círculo. Frequência– este é o recíproco do período de revolução – o número de revoluções por unidade de tempo (por segundo). A frequência de circulação é indicada pela letra n.
n=1/T
Durante um período, o ângulo de rotação φ de um ponto é igual a 2π rad, portanto 2π = ωT, de onde
T = 2π/ω
Ou seja, a velocidade angular é igual a
ω = 2π / T = 2πn
Aceleração centrípeta pode ser expresso em termos de período T e frequência de circulação n:
uma CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Entre os vários tipos de movimento curvilíneo, de particular interesse é movimento uniforme de um corpo em círculo. Este é o tipo mais simples de movimento curvilíneo. Ao mesmo tempo, qualquer movimento curvilíneo complexo de um corpo em uma porção suficientemente pequena de sua trajetória pode ser considerado aproximadamente como um movimento circular uniforme.
Tal movimento é realizado por pontos de rodas giratórias, rotores de turbinas, satélites artificiais girando em órbitas, etc. Com movimento uniforme em círculo, o valor numérico da velocidade permanece constante. No entanto, a direção da velocidade durante esse movimento muda continuamente.
A velocidade de movimento de um corpo em qualquer ponto de uma trajetória curvilínea é direcionada tangencialmente à trajetória naquele ponto. Você pode verificar isso observando o funcionamento de um afiador em forma de disco: pressionando a ponta de uma haste de aço contra uma pedra giratória, você pode ver partículas quentes saindo da pedra. Essas partículas voam na velocidade que tinham no momento em que saíram da pedra. A direção das faíscas sempre coincide com a tangente ao círculo no ponto onde a haste toca a pedra. Os respingos das rodas de um carro que derrapa também se movem tangencialmente ao círculo.
Assim, a velocidade instantânea de um corpo em diferentes pontos de uma trajetória curvilínea tem direções diferentes, enquanto a magnitude da velocidade pode ser a mesma em todos os lugares ou variar de ponto a ponto. Mas mesmo que o módulo de velocidade não mude, ainda não pode ser considerado constante. Afinal, a velocidade é uma grandeza vetorial e, para grandezas vetoriais, o módulo e a direção são igualmente importantes. É por isso o movimento curvilíneo é sempre acelerado, mesmo que o módulo de velocidade seja constante.
Durante o movimento curvilíneo, o módulo de velocidade e sua direção podem mudar. O movimento curvilíneo no qual o módulo de velocidade permanece constante é chamado movimento curvilíneo uniforme. A aceleração durante tal movimento está associada apenas a uma mudança na direção do vetor velocidade.
Tanto a magnitude quanto a direção da aceleração devem depender do formato da trajetória curva. Porém, não há necessidade de considerar cada uma de suas inúmeras formas. Tendo imaginado cada seção como um círculo separado com um determinado raio, o problema de encontrar a aceleração durante o movimento curvilíneo uniforme será reduzido a encontrar a aceleração durante o movimento uniforme de um corpo em um círculo.
O movimento circular uniforme é caracterizado pelo período e frequência de revolução.
O tempo que um corpo leva para fazer uma revolução é chamado período de circulação.
Com movimento uniforme em círculo, o período de revolução é determinado dividindo a distância percorrida, ou seja, a circunferência pela velocidade do movimento:
O recíproco do período é chamado frequência de circulação, denotado pela letra ν . Número de revoluções por unidade de tempo ν chamado frequência de circulação:
Devido à mudança contínua na direção da velocidade, um corpo que se move em círculo tem uma aceleração, o que caracteriza a velocidade de mudança em sua direção, o valor numérico da velocidade neste caso não muda;
Quando um corpo se move uniformemente em torno de um círculo, a aceleração em qualquer ponto é sempre direcionada perpendicularmente à velocidade do movimento ao longo do raio do círculo até seu centro e é chamada aceleração centrípeta.
Para encontrar seu valor, considere a razão entre a mudança no vetor velocidade e o intervalo de tempo durante o qual essa mudança ocorreu. Como o ângulo é muito pequeno, temos.
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Um caso especial importante de movimento de partículas ao longo de uma determinada trajetória é o movimento em círculo. A posição da partícula no círculo (Fig. 46) pode ser especificada indicando não a distância de algum ponto inicial A, mas o ângulo formado pelo raio traçado do centro O do círculo até a partícula, com o raio desenhado até o ponto inicial A.
Junto com a velocidade do movimento ao longo da trajetória, que é definida como
é conveniente introduzir a velocidade angular, que caracteriza a taxa de mudança do ângulo
A velocidade do movimento ao longo da trajetória também é chamada de velocidade linear. Vamos estabelecer uma conexão entre velocidades lineares e angulares. O comprimento do arco I que subtende o ângulo é igual a onde está o raio do círculo, e o ângulo é medido em radianos. Portanto, a velocidade angular co está relacionada à velocidade linear pela relação
Arroz. 46. O ângulo especifica a posição de um ponto em um círculo
A aceleração ao se mover em círculo, bem como durante o movimento curvilíneo arbitrário, no caso geral tem dois componentes: tangencial, direcionado tangencialmente ao círculo e caracterizando a velocidade de mudança no valor da velocidade, e normal, direcionado para o centro do círculo e caracterizando a velocidade de mudança na direção da velocidade.
O valor da componente normal da aceleração, chamada neste caso (movimento circular) de aceleração centrípeta, é dado pela fórmula geral (3) § 8, na qual agora a velocidade linear pode ser expressa em termos de velocidade angular usando a fórmula (3 ):
Aqui o raio do círculo é, obviamente, o mesmo para todos os pontos da trajetória.
Com movimento circular uniforme, quando o valor é constante, a velocidade angular co, como pode ser visto em (3), também é constante. Neste caso, às vezes é chamada de frequência cíclica.
Período e frequência. Para caracterizar o movimento circular uniforme, juntamente com c, é conveniente usar o período de revolução T, definido como o tempo durante o qual uma revolução completa é feita, e a frequência - o inverso do período T, que é igual ao número de revoluções por unidade de tempo:
Da definição (2) de velocidade angular segue a relação entre as grandezas
Esta relação permite-nos escrever a fórmula (4) para aceleração centrípeta da seguinte forma:
Observe que a velocidade angular co é medida em radianos por segundo e a frequência é medida em revoluções por segundo. As dimensões de e são as mesmas, pois essas quantidades diferem apenas por um fator numérico
Ao longo do anel viário. Os trilhos da ferrovia de brinquedo formam um anel radial (Fig. 47). O carro se move ao longo deles, empurrado por uma haste que gira com velocidade angular constante em torno de um ponto situado dentro do anel, quase nos trilhos. Como a velocidade do trailer muda à medida que ele se move?
Arroz. 47. Para encontrar a velocidade angular ao dirigir ao longo de um anel viário
Solução. O ângulo formado por uma haste com uma determinada direção muda com o tempo de acordo com uma lei linear: . Como direção a partir da qual o ângulo é medido, é conveniente tomar o diâmetro do círculo que passa pelo ponto (Fig. 47). O ponto O é o centro do círculo. É óbvio que o ângulo central que determina a posição do reboque no círculo é o dobro do ângulo inscrito apoiado no mesmo arco: Portanto, a velocidade angular do reboque ao se mover ao longo dos trilhos é o dobro da velocidade angular com que a haste gira:
Assim, a velocidade angular do trailer revelou-se constante. Isto significa que o reboque se move uniformemente ao longo dos trilhos. Sua velocidade linear é constante e igual a
A aceleração do reboque com tal movimento circular uniforme é sempre direcionada para o centro O, e seu módulo é dado pela expressão (4):
Veja a fórmula (4). Como deve ser entendido: a aceleração ainda é proporcional ou inversamente proporcional?
Explique por que, durante o movimento irregular em torno de um círculo, a velocidade angular co mantém seu significado, mas perde seu significado?
Velocidade angular como vetor. Em alguns casos, é conveniente considerar a velocidade angular como um vetor cuja magnitude é igual e sua direção constante é perpendicular ao plano em que o círculo se encontra. Usando esse vetor, você pode escrever uma fórmula semelhante a (3), que expressa o vetor velocidade de uma partícula que se move em círculo.
Arroz. 48. Vetor de velocidade angular
Vamos colocar a origem no centro O do círculo. Então, quando a partícula se move, seu vetor raio girará apenas com velocidade angular co, e seu módulo será sempre igual ao raio do círculo (Fig. 48). Pode-se observar que o vetor velocidade direcionado tangencialmente ao círculo pode ser representado como o produto vetorial do vetor velocidade angular с e o vetor raio da partícula:
Arte vetorial. Por definição, o produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular ao plano em que se encontram os vetores multiplicados. A direção do produto vetorial é selecionada de acordo com a seguinte regra. O primeiro fator está mentalmente voltado para o segundo, como se fosse o cabo de uma chave inglesa. O produto vetorial é direcionado na mesma direção em que um parafuso com rosca direita se moveria.
Se os fatores de um produto vetorial forem trocados, ele mudará de direção para o oposto: isso significa que o produto vetorial é não comutativo.
Da Fig. 48 pode-se ver que a fórmula (8) dará a direção correta para o vetor se o vetor co for direcionado exatamente como mostrado nesta figura. Portanto, podemos formular a seguinte regra: a direção do vetor velocidade angular coincide com a direção do movimento de um parafuso com rosca direita, cuja cabeça gira na mesma direção em que a partícula se move ao redor do círculo.
Por definição, o módulo de um produto vetorial é igual ao produto dos módulos dos vetores multiplicados e o seno do ângulo a entre eles:
Na fórmula (8), os vetores multiplicados с e são perpendiculares entre si, portanto, como deveria ser de acordo com a fórmula (3).
O que você pode dizer sobre o produto vetorial de dois vetores paralelos?
Qual é a direção do vetor velocidade angular do ponteiro do relógio? Como esses vetores diferem para os ponteiros dos minutos e das horas?
