Vallavalitsuse õppeasutus

"Novonikolski keskkool"

Volgogradi oblasti Bykovski munitsipaalrajoon

Algebra tund 8. klassis

Esitatud: matemaatikaõpetaja

Novonikolskoje – 2015

Algebra tund 8. klassis

teemal “Ruutjuurt sisaldavate avaldiste teisendamine”

Tunni eesmärgid:

korrake aritmeetilise ruutjuure määratlust, aritmeetilise ruutjuure omadusi;

kinnistada aritmeetilisi ruutjuure sisaldavate avaldiste identsete teisenduste näidete lahendamise oskusi ja oskusi;

õpetama end murdu nimetaja irratsionaalsusest vabastama;

arendada enesekontrolli ja vastastikuse kontrolli oskusi, huvi aine vastu.

Varustus: multimeedia projektor , interaktiivne tahvel, hindamislehed, testikaardid, kodutööde kaardid.

Tundide ajal:

I . Aja organiseerimine

Tänases tunnis jätkame ruutjuure sisaldavate avaldiste teisendamist. Hindamisleht aitab sul tänasest tunnist kokkuvõtte teha. Allkirjastage oma lehed ja vastake esimesele küsimusele „Meeleolu õppetunni alguses”, valides ühe emotikonidest.

Matemaatikas on midagi

tekitades inimlikku rõõmu.
F. Hausdorff

II . Suuline töö

1) Frontaaluuring.

Andke aritmeetilise ruutjuure definitsioon. ( Arvu aritmeetiline ruutjuur on mittenegatiivne arv, mille ruut on võrdne a-ga).

Loetlege aritmeetilise ruutjuure omadused. ( Mittenegatiivsete tegurite korrutise aritmeetiline ruutjuur võrdub nende tegurite juurte korrutisega. Murru, mille lugeja on mittenegatiivne ja nimetaja on positiivne, aritmeetiline ruutjuur võrdub lugeja juurega, mis on jagatud nimetaja juurega).

Mis on x 2 aritmeetiline ruutjuur? ( |x|).

Mis on x 2 aritmeetilise ruutjuure väärtus, kui x≥0? X X. -X).

2) Suuline loendamine: Tule, pane pliiatsid kõrvale!

Ei mingit doominot. Pole pastakaid. Ei mingit kriiti.

"Verbaalne loendamine!" Me teeme seda asja

Ainult mõistuse ja hinge jõul.

Numbrid koonduvad kuskil pimeduses,

Ja silmad hakkavad särama,

Ja ümberringi on ainult targad näod.

Sest me loeme oma peas!

Arvutage suuliselt:

1. Eemaldage juuremärgi alt kordaja:

2. Sisestage kordaja juuremärgi alla:

3. Ruut:

4. Esitage sarnased terminid:

III . Dikteerimine:

valik 1	Variant-2	Vastused:	Vastused:

IV .FÜÜSILINE MINUT

V . Ajalooline viide

Radix - sellel on kaks tähendust: külg ja juur. Kreeka matemaatikud ütlesid selle asemel, et "juure eraldada", "leidke ruudu külg selle antud väärtusest (pindalast)".

Alates 13. sajandist tähistasid Itaalia ja teised Euroopa matemaatikud juurt ladinakeelse sõnaga Radix või lühendatult R (sellest ka mõiste "radikaalne").

15. sajandi saksa matemaatikud. kasutatakse ruutjuure tähistamiseks

punkt ·5

Hiljem hakati punkti asemel panema teemanti ¨5

Siis Ú 5. Siis hakati ühendama märk Ú ja joon.

VI etapp. Uue materjali kallal töötamine.

Kui algebralise murru nimetaja sisaldab ruutjuuremärki, siis tavaliselt öeldakse, et nimetaja sisaldab irratsionaalsust.

Esitatakse probleem: „Millist avaldist on lihtsam arvutada: või? Miks? (Kuna ratsionaalarvuga jagamine on lihtsam kui irratsionaalarvuga jagamine.)

Täna tunnis uurime teemat

"Vabastumine irratsionaalsusest murdosa nimetajas." Proovime vabaneda nimetaja irratsionaalsusest järgmistes näidetes:

A); b) ; V); G).

Millise avaldisega tuleks murdosa nimetaja korrutada, et juured “kaoksid”? Mida tuleb teha, et murdosa ei muutuks? Saame järgmise lahenduskirje.

d)=

Teeme järelduse.

Teisendust, mille käigus murru nimetaja juured kaovad, nimetatakse nimetaja irratsionaalsusest vabanemiseks. Nimetajas nägime kahte peamist irratsionaalsusest vabanemise meetodit:

VII . Teema kinnitamine: Õpik. Lk 98 nr 431(a,b,g,h), nr 433(a,b,c)

Vabastage end irratsionaalsusest murru nimetajas:

A) ; b) c); G) .

VII I . Test (töö paaris)

Inglise filosoof Herbert Spencer ütles: "Aarded ei ole teadmised, mis ladestuvad ajju nagu rasv, aarded on need, mis muutuvad vaimseteks lihasteks."

Selles tunni etapis peate testi ajal harjutuste lahendamiseks oma teadmisi rakendama. ( test lisatud)

Enesetest:

Õigete vastuste kood: I variant – 12312 II variant – 32132.

Kodutöö: nr 431 (z, i), nr 432, nr 433 (g, e, f)

IX . Tunni kokkuvõte:

Täitke hindamisleht täielikult. Tunni hinded.

Ma tahan õppetunni lõpetada suure matemaatiku Sofia Kovalevskaja luuletus.

Taevast katab must udu,

See luuletus väljendab soovi teadmiste järele, võimet ületada kõik teel ette tulevad takistused. Kuidas sina ja mina täna takistustest üle saime? Mida me tunnis tegime?

- Täna vaatasime üle aritmeetilise ruutjuure definitsiooni ja omadused; juuremärgi taha kordaja asetamine, juuremärgi alla kordaja lisamine, lühendatud korrutusvalemid; Saime tuttavaks ja konsolideerisime mõned ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamise meetodid. Laiendasime oma silmaringi ja saime teada, kes tõi esimesena tänapäevase juurmärgi üldkasutusse.

Kõik töötasid tunni jooksul viljakalt, aktiivselt ja ühiselt.

Õppetund on läbi. Aitäh kõigile õppetunni eest!

KÜSIMUSLEHT

F.I. õpilane________________________________

1. Meeleolu tunni alguses: a) b) c)

2. Minu arusaam tunni teemast:

a) õppis kõike; b) õppis peaaegu kõike; c) osaliselt aru saanud, vajan abi.

3. Hinne dikteerimise eest:

4. Testi valede vastuste arv: _________

5. Töötasin klassis:

a) suurepärane; b) hea; c) rahuldav; d) mitterahuldav.

6. Hindan oma tööd ______ (anna hinnang)

7. Hindan õppetundi _____ (anna hinnang)

8. Meeleolu tunni lõpus: a) b c)

Test I valik 1. Lihtsusta väljendit 1) 2) 3) 2. Avage sulud ja lihtsustage väljendit: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Lihtsustage: 1); 2) ; 3) . 4. Vabane irratsionaalsusest nimetajas = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4)

Test II valik 1. Lihtsusta väljendit 1); 2) ; 3) 2. Avage sulgud ja lihtsustage 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Lihtsustage: 4. Vabastage end nimetaja irratsionaalsusest: 1) ; 2); 3) . 5. Eemaldage juuremärgi alt kordaja: 1) ; 2) ; 3) Mis on mittenegatiivsete tegurite korrutis ruutjuur? Mis on murru ruutjuur? Mis on x 2 aritmeetiline ruutjuur? Ei mingeid sõrmenukke, pastakaid ega kriiti. Tule, pane pliiatsid kõrvale! "Verbaalne loendamine!" Me teeme seda asja Ainult mõistuse ja hinge jõul. Numbrid koonduvad kuskil pimeduses, Ja silmad hakkavad särama, Ja ümberringi on ainult targad näod. Sest me loeme oma peas! Sõnaline loendamine Võtke kordaja märgi alt välja juur: Mõtle natuke Sõnaline loendamine Sisestage kordaja juuremärgi alla: Sisestage kordaja juuremärgi alla: Sisestage kordaja juuremärgi alla: Sisestage kordaja juuremärgi alla: Mõtle natuke Sõnaline loendamine Ruut: Mõtle natuke Sõnaline loendamine Esitage sarnased terminid: Mõtle natuke III . Dikteerimine: valik 1 Variant-2 Vastused: Vastused: Radix - sellel on kaks tähendust: külg ja juur. Kreeka matemaatikud ütlesid selle asemel, et "juure eraldada", "leidke ruudu külg selle antud väärtusest (pindalast)". Alates 13. sajandist tähistasid Itaalia ja teised Euroopa matemaatikud juurt ladinakeelse sõnaga Radix või lühendatult R (sellest ka mõiste "radikaalne"). 15. sajandi saksa matemaatikud. ruutjuure tähistamiseks kasutasime punkti ·5 Hiljem hakati punkti asemel panema teemanti  5 Siis  5. Siis hakati ühendama märk  ja joon. Eksperthinnang I valik II valik lõik 19, lk 96, näide 3 № 431 (h, i), nr 432, nr 433 (d, e, f) Kui elus sa kasvõi hetkeks Tundsin tõde oma südames, Kui läbi pimeduse ja kahtluse on valguskiir Teie tee oli valgustatud ereda säraga: Ükskõik, milline on teie muutumatu otsus Saatus pole teile ette määranud, Mälestus sellest pühast hetkest Hoidke seda igavesti nagu pühamu oma rinnus. Pilved kogunevad ebakõlaks massiks, Taevast katab must udu, Selge sihikindlusega, rahuliku usuga Kohtute tormiga ja seisate silmitsi äikesetormiga.

"Keskkool nr 51"

Konkursile “Aasta Õpetaja” koolietapp

Matemaatika tunniplaan 8. klassile "A"

Teema: ruutjuuroperatsiooni sisaldavate avaldiste teisendamine.

Esitatud:

Matemaatika õpetaja

Aralbaeva Nurslu Erkagaleevna

MOBU "Keskkool nr 51"

Orenburg, 2015

Tunni tüüp: teadmiste süstematiseerimine ja üldistamine.

Õppemeetodid: problemaatiline, verbaalne, visuaalne, praktiline.

Klassitöö vormid: üksikisik, paar.

Varustus:

kriit, tahvel

arvuti

ekraaniga multimeediaprojektor

tunni elektrooniline versioon - esitlus

jaotusmaterjalid (erineva taseme ülesannetega kaardid)

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:üldistada teadmisi ruutjuure eraldamise operatsiooni sisaldavate avaldiste igat tüüpi teisenduste kohta, kinnistada ruutjuure omaduste kasutamise oskust, õppida kasutama omandatud teadmisi ROE-ks valmistumiseks.

Arenguline: mittestandardse lähenemise väljatöötamine probleemi lahendamisel; mõtlemise, pädeva matemaatilise kõne, enesekontrollioskuste arendamine; arendada oskust oma tegevusi organiseerida.

Hariduslik: edendada huvi teket aine, tegevuse vastu, kasvatada töötäpsust, oskust oma arvamust avaldada ja soovitusi anda.

Õpilased peaksid teadma:

Algoritm kordaja sisseviimiseks juurmärgi alla.

Algoritm kordaja eemaldamiseks juurmärgi alt.

Ruutjuurte omaduste rakendamine.

Ruutjuure määratlus.

"Inimese suurus seisneb tema mõtlemisvõimes."

Blaise Pascal.

I Organisatsioonihetk

Sissejuhatus. Teatage tunni teemat ja eesmärke.

Silmapaistev prantsuse filosoof ja teadlane Blaise Pascal väitis: "Inimese suurus seisneb tema mõtlemisvõimes." Täna püüame tunda end suurte inimestena, avastades enda jaoks teadmisi. Tänase tunni motoks on Vana-Kreeka matemaatiku Thalese sõnad:

Mida on maailmas rohkem kui midagi? - Kosmos.

Mis on kiireim? - Mõistus.

Mis on kõige targem? - Aeg.

Mis on parim osa? - Saavutage see, mida soovite.

Soovin, et igaüks teist saavutaks tänases tunnis soovitud tulemuse.

Hetkel koputatakse klassiruumi ja teatatakse, et kool on saanud posti, mis sisaldab 8. klassi “A” pakk. Õpetaja avab iga õpilase jaoks kirju sisaldava paki. Pärast ümbrike kättesaamist tutvuvad õpilased sisuga. Üks õpilastest loeb ette soovituskirja:

Kallis Nurslu Jerkagalejevna!

Orenburgi Riiklik Ülikool kutsub teid osalema rahvusvahelisel konkursil “Lapsed on meie tulevik”. Konkursi eesmärk on selgitada välja andekad lapsed meie riigi erinevates piirkondades ja võimaldada neile õppida riiklikul alusel kõrgkoolides.

Kuna meie põhiaineteks on matemaatika, füüsika ja informaatika, siis konkursil “Lapsed on meie tulevik” osalemiseks tuleb täita ülesanne aines “Matemaatika”. Teiste ainete kohta saate soovitusi hiljem.

Pidage meeles, et kui teie tulemused on positiivsed, on teil võimalus meie ülikooli astuda.

Edu!

Õpetaja:

Poisid, meile pakutakse osaleda konkursil “Lapsed on meie tulevik” ja teil on võimalus astuda ülikooli. Selleks peate täitma pakutud ülesanded. Enne ülesande täitmisega jätkamist korrakem siiski üle teema põhipunktid.

II Teadmiste täiendamine

Võtke juurmärgi alt välja:

Sisestage kordaja juuremärgi alla:

Ruut:

Esitage sarnased terminid:

Hankige joonis (töötage paaris)

III Fizminutka

Harjutus silmadele

IV Kontrolltöö.

Test ROE ülesannetest

Leidke väljendi tähendus:

-2(
) 2

A. 9,6 B. 0 C. 0,38 D. 2.4

A. 42 B. 18 C. 60 D. 6

Leidke väljendi tähendus:

0,5
+ 3

A. 62,93 B. 0 C. 8.2 D. 1

Leidke väljendi tähendus:

- 0,5 (
) 2

A. 141 B. 9. C. 6 D. 0

A. 0 B. 0,7 C.1 D.0.1

Leidke väljendi tähendus:

-2(
) 2

A. 8,75 B. 0,1 C. 0,28 D. 3.6

A. 47 B. 8 C. 70 D. 16

Leidke väljendi tähendus:

0,5
+ 3

A. 0 B. 58,61 C. 8.1 D. 1

Leidke väljendi tähendus:

- 0,5 (
) 2

A. 7 B. 121 C. 6 D. 0

A. 0 B. 1 C. 0,3 D. 0,1

Pärast tabeli täitmist panevad õpilased täidetud ülesande ümbrikusse ja annavad õpetajale üle. Õpetaja paneb hindeid, tänab õpilasi tehtud töö eest ja teatab, et järgmises tunnis saavad õpilased ümbrikud tulemustega ja saavad teada oma sisseastumisvõimalustest. VII Tunni kokkuvõte.

Peegeldus

Meie töö saab läbi ja algab loovuse hetk. Milline puhkus ootab meid lähitulevikus (uusaasta). Ehitame “Meeleolu jõulupuu”. Ja laske sellel ühendada teie tuju, tunded ja emotsioonid tunnist.

Olen oma tööga tunnis rahul (sobiv emotikon)

Tunnis läks mul hästi.

Minu jaoks oli klassis raske.

Valige oma emotsioonidele vastav emotikon, minge tahvli juurde ja riputage see jõulupuu külge.

Mida me saime? Väga särav jõulupuu tähendab, et töötasid tunnis huviga, õppisid palju uut, mis pani mõtlema ja muutma suhtumist algebrasse. Lubage mul lisada paar puudutust:
- Las lumehelbed inspireerivad meid edule ja loovusele (ma riputan lumehelbed).
- Loodan, et tund valmistas rõõmu mitte ainult mulle, vaid ka teile, mu kallid õpilased (Lülita pärg sisse).
- Ja laske täna omandatud teadmistel jääda teiega igaveseks.

VIII kodutöö:

Eristatakse: tase A – hinne “3”, tase B – hinne “4”, tase C – hinne “5”.

Hindamine

Kirjandus:

Programm: üldharidusasutustele, toimetaja A.G. Mordkovich.

Tunni arengud algebra 8. klassis O.V Zanina, I.N. Dankova.

AVATUD KAUGTUNNID

teemal: "Ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamine."

Matemaatikaõpetaja - Vetokhina Antonina Sergeevna

Töökoht : OGCOU “internaatkool nr. 88 "Naeratus" Uljanovsk, Uljanovskaja

piirkond

Üksus: algebra

Klass: 8

Põhiõpetus: « Algebra 8. klass" : Õpik haridusasutustele. Yu.N. Makarychev, N.G.

Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov. - M.: Haridus, 2011

TDC:

Hariduslik:

jätkake oskuste arendamist:

kordaja asetamine radikaalmärgist väljapoole;

kordaja kasutuselevõtt radikaali märgi all;

faktoriseerimine;

redutseerivad fraktsioonid;

õpetada õpilast rakendama algteadmisi: omadused juur

Arendav : jätka arendustööd:

praktilised oskused ja vilumused;

õige matemaatiline kõneoskus;

õpilase tunnetuslik tegevus;

õpilase loogiline mõtlemine ülesannetes arvutamisel.

Harivad: jätka moodustamist:

suhtluskultuur ja küsimustele vastamise kultuur;

vaimse töö kultuur;

kujundada positiivset suhtumist ainesse, huvi teadmiste vastu.

Tunni tüüp: kombineeritud.

Õppemeetodid : visuaal-verbaalne, reproduktiivne.

Tunnetusliku tegevuse korraldamise vormid klassiruumis : iseseisev ja individuaalne töö.

Tunni varustus, kujundus ja tehniline varustus:

i-kooli kodulehe materjalid « Algebra – II (8. klass) » ( http://iclass.home-edu.ru );

saidi materjalid "YaKlass" ( http://www.yaklass.ru );

arvuti, multimeediaprojektor.

TUNNIPLAAN

1. Aja organiseerimine.

2. Teadmiste värskendamine.

3. Harjutus silmadele.

4. Uue materjali õppimine.

5. Kehaline kasvatus ja motoorne treening.

6. Omandatud teadmiste kinnistamine. Praktiline töö.

7. Peegeldus.Õppetunni kokkuvõte.

8. Kodutöö.

TUNNI STRUKTUUR JA EDU

Enne tunni algust logib õpilane saidile sisse i -koolid sinu sisselogimise all ja läheb kursusele « Algebra – II (8. klass) » .

Siis ta avaneb programm Skype tunnis osaleda.

Treeningu etapp	Lavaülesanded	Õpetaja tegevus	Õpilaste tegevus	Oodatud Tulemus
1. Organisatsioonilinehetk. 2 minutit	Korraldage õpilase tähelepanu ja valmisolek tunniks. Too välja tunni üldised eesmärgid ja selle kava Tehke lõõgastus- ja hingamisharjutusi.	Õpetaja tervitab õpilast ja küsib tema tuju ja valmisolekut tunniks. Soovib teile viljakat koostööd. Teatab eesmärgid ja tunniplaani. Palub järjehoidjatesse lisada: veebisait "YaKlass"aine 8. klass, asja juurdeIII.Ruutjuure funktsioon. Ruutjuure omadused ja tehke õppetunni sakid 4 ja 5 Ma tean Algebra – II (8. klass) » mine 13. teema juurde ja tee vahekaart 26. õppetunni jaoks Kogume jõudu. Nelja sammuga hingame läbi nina sügavalt õhku ja viie sammuga hingame jõuliselt välja, puhudes välja kujuteldava küünla. Kordame seda 2 korda.	Õpilane tervitab õpetajat. Vastab küsimustele. Õpetaja juhendamisel teeb ta vajalikud sakid. Teeb hingamisharjutusi	Õpilase emotsionaalne meeleolu tunniks. Sõbraliku õhkkonna ja asjaliku suhtumise loomine. Õpilane on tunniks valmis.
2. Viiteteadmiste uuendamine 1) Kodutööde kontrollimine. 2 minutit 2) Kaetud materjali kordamine. 6 min.	Tehke kindlaks, kas kodutöö on õigesti tehtud. Korda: - ruutjuurte omadused	Õpetaja annab oma ekraani õpilasele. Avab oma kodutöö. Palub iseseisvalt vead üles leida ja nende olemasolul parandada. Kui lülitate ekraanile juurdepääsu välja, palub õpilasel oma ekraani jagada ja minge saidi vahekaardile "YaKlass" ja ava sisse 4. õppetund: Test “Koolitus teemal “Ruutjuurte omadused” küsib õpilane lülitage juurdepääs ekraanile välja ja liikuge edasi kehalise kasvatuse juurde.	Aktsepteerib õpetajapoolseid märkusi või heakskiitu tehtud kodutöö kohta. Üliõpilane pakub teie ekraani ja, avamine Test, teostab selle. Üliõpilane lülitab juurdepääsu teie ekraanile välja.	Kontrollitud kodutööd. Õpilane peab: Tea: juurte omadused; Oskab: sisestada kordaja juuremärgi alla, eemaldada kordaja juuremärgi alt.
3. Harjutus silmadele 2 minutit.	Silmade väsimuse ennetamine.	Pakub õpilasele harjutuste komplekti silmade väsimise vältimiseks.		Silmade koormuse leevendamine.
4. Uue materjali õppimine 1) Õppetööks valmistumine 2) Õppimine 15 minutit.	Korraldage õpilaste tegevusi teadmiste saamiseks. Arendada oskust uut teemat iseseisvalt uurida	Õpetaja palub õpilasel oma ekraani jagada ja avage kursusel vahekaart « Algebra – II (8. klass) » : õppetund 26. Ruutjuuri sisaldavate avaldiste teisendamine . Palub õpilasel ekraanile juurdepääs välja lülitada ja minna kehalise kasvatuse tundi.	Annab oma ekraani õpetajale. Avamine: 26. õppetund Loeb läbi näidete käsitletud lahendused, kommenteerides, milliseid valemeid kasutatakse nende lahendamiseks. Õpilane lülitab ekraanile juurdepääsu välja.	Õpilane on valmis omandama uusi teadmisi. Õpilane peaks mõistma ruutjuure sisaldavate avaldiste teisendamist Rakendage lühendatud korrutusvalemeid.
5. Kehaline kasvatus ja motoorne treening 2 minutit.	Leevendage õlavöötme ja käte väsimust	Õpetaja pakub õpilasele harjutuste komplekti õlavöötme ja käte väsimuse leevendamiseks	Õpilane sooritab pakutud harjutusi õpetaja juhendamisel.	Väsimuse leevendamine õlavöötmest ja kätest
6. Omandatud teadmiste kinnistamine. Praktiline töö. 6 min.	Veenduge, et õpilane mõistab praktiliste ülesannete eesmärki, sisu ja sooritamise meetodeid.	Õpetaja palub õpilasel oma ekraani jagada. Ja uue teema konsolideerimiseks kutsub õpilast minema saidi vahekaardile "YaKlass" ja ava sisse 5. õppetund: Ülesanded 1 kuni 8.	Õpilane läheb saidi vahekaardile "YaKlass" ja avab 5. õppetunni ülesanded ja täidab need. Seejärel lülitab ekraanile juurdepääsu välja.	Oskab teadmisi praktikas rakendada.
7. Peegeldus. Õppetunni kokkuvõte. 2 minutit.	Määrake tunni eesmärgi saavutamise tase.	Õpetaja hindab õpilase tööaktiivsust tunnis tehtud ülesannete põhjal. Esitab õpilasele küsimusi: Mida me tunnis õppisime? Mida sa tunnis õppisid? Millega sul raskusi oli? Õpetaja teatab õpilasele hinde, kommenteerides selle objektiivsust.	Õpilane analüüsib oma tööd ja annab sellele hinnangu. Ta räägib teile, mis talle tunni ajal meeldis, mis oli lihtne ja mille kallal ta tahaks edasi töötada.	Kvalitatiivse hindamise objektiivsus.
8. Kodutöö.

Selle artikli materjali tuleks käsitleda osana irratsionaalsete väljendite ümberkujundamisest. Siin analüüsime näidete abil kõiki peensusi ja nüansse (mida on palju), mis tekivad juurte omadustel põhinevate teisenduste läbiviimisel.

Leheküljel navigeerimine.

Tuletagem meelde juurte omadusi

Kuna hakkame tegelema avaldiste teisendamisega, kasutades juurte omadusi, ei tee halba meelde jätta peamised või veel parem, kui kirjutage need paberile ja asetage need enda ette.

Esiteks uuritakse ruutjuuri ja nende järgmisi omadusi (a, b, a 1, a 2, ..., a k on reaalarvud):

Ja hiljem laiendatakse juure ideed, tutvustatakse n-nda astme juure määratlust ja võetakse arvesse järgmisi omadusi (a, b, a 1, a 2, ..., a k on reaalarvud, m, n, n 1, n 2, ... , n k – naturaalarvud):

Radikaalsete märkide all olevate arvudega avaldiste teisendamine

Tavapäraselt õpitakse esmalt töötama arvavaldistega ja alles pärast seda siirdutakse muutujatega avaldiste juurde. Teeme sama ja esmalt käsitleme ainult numbrilisi avaldisi sisaldavate irratsionaalsete avaldiste teisendamist juurte märkide all ja seejärel järgmises lõigus juurte märkide all olevad muutujad.

Kuidas saab seda kasutada väljendite teisendamiseks? See on väga lihtne: näiteks võime irratsionaalse avaldise asendada väljendiga või vastupidi. See tähendab, et kui teisendatav avaldis sisaldab avaldist, mis välimuselt ühtib mõne loetletud juurte omaduse vasaku (parempoolse) osa avaldisega, saab selle asendada vastava avaldisega paremast (vasakust) osast. See on avaldiste teisendamine juurte omaduste abil.

Toome veel paar näidet.

Lihtsustame väljendit . Arvud 3, 5 ja 7 on positiivsed, nii et saame juurte omadusi julgelt rakendada. Siin saate tegutseda erineval viisil. Näiteks atribuudil põhinevat juurt saab esitada kujul , ja juurt, kasutades atribuuti k=3 - as , selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja järgmine:

Seda saab teha teisiti, asendades elemendiga , ja seejärel elemendiga , sel juhul näeks lahendus välja järgmine:

Võimalikud on ka muud lahendused, näiteks:

Vaatame veel ühe näite lahendust. Teisendame väljendit. Vaadates juurte omaduste loendit, valime sealt näite lahendamiseks vajalikud omadused, on selge, et siin on kasulikud kaks neist, mis kehtivad mis tahes a puhul. Meil on:

Teise võimalusena võib esmalt radikaalseid avaldisi teisendada kasutades

ja seejärel rakendage juurte omadusi

Seni oleme teisendanud avaldisi, mis sisaldavad ainult ruutjuuri. On aeg töötada juurtega, millel on erinevad näitajad.

Näide.

Teisenda irratsionaalne avaldis .

Lahendus.

Vara järgi antud toote esimese teguri saab asendada arvuga −2:

Lase käia. Teine tegur vara tõttu saab esitada kui , ja ei teeks paha asendada 81 neljakordse astmega kolm, kuna number 3 esineb ülejäänud tegurite juures juurte märkide all:

Soovitatav on asendada murdosa juur vormi juurte suhtega, mida saab edasi muuta: . Meil on

Tulemuseks olev avaldis pärast kahega toimingute sooritamist omandab vormi , ja alles jääb juurte toote muutmine.

Juuresaaduste muutmiseks vähendatakse neid tavaliselt ühe indikaatorini, mille jaoks on soovitatav võtta kõigi juurte näitajad. Meie puhul on LCM(12, 6, 12) = 12 ja sellele indikaatorile tuleb taandada ainult juur, kuna ülejäänud kahel juurel on selline indikaator juba olemas. Võrdsus, mida rakendatakse paremalt vasakule, võimaldab meil selle ülesandega toime tulla. Niisiis . Seda tulemust arvesse võttes oleme

Nüüd saab juurte korrutise asendada toote juurega ja teha ülejäänud, juba ilmsed teisendused:

Kirjutame lahenduse lühiversiooni:

Vastus:

.

Eraldi rõhutame, et juurte omaduste rakendamiseks on vaja arvestada juurte märkide all olevatele arvudele seatud piirangutega (a≥0 jne). Nende ignoreerimine võib põhjustada ebaõigeid tulemusi. Näiteks teame, et omadus kehtib mittenegatiivse a korral. Selle põhjal saame hõlpsasti liikuda näiteks alates kuni, kuna 8 on positiivne arv. Aga kui me võtame näiteks negatiivse arvu tähendusliku juure ja asendame selle ülaltoodud omaduse põhjal tähega , siis asendame −2 tegelikult 2-ga. Tõepoolest, ah. See tähendab, et negatiivse a puhul võib võrdsus olla vale, nagu ka juurte muud omadused võivad olla valed, võtmata arvesse neile määratud tingimusi.

Kuid eelmises lõigus öeldu ei tähenda sugugi seda, et negatiivsete arvudega avaldisi juuremärkide all ei saaks juurte omadusi kasutades teisendada. Need tuleb lihtsalt esmalt “ette valmistada”, rakendades numbritega tehtereegleid või kasutades negatiivse arvu paaritu juure määratlust, mis vastab võrdsusele. , kus −a on negatiivne arv (ja a on positiivne). Näiteks ei saa seda kohe asendada numbriga , kuna −2 ja −3 on negatiivsed arvud, kuid see võimaldab meil liikuda juurest väärtusele ja seejärel rakendada korrutise juure omadust: . Ja ühes eelmises näites ei olnud vaja kaheksateistkümnenda astme juurest juure liikuda , ja nii .

Nii et avaldiste teisendamiseks juurte omaduste abil on vaja

• valige loendist sobiv omadus,
• veenduge, et juure all olevad numbrid vastavad valitud atribuudi tingimustele (muidu peate tegema eelteisendusi),
• ja viia läbi kavandatud ümberkujundamine.

Radikaalsete märkide all olevate muutujatega avaldiste teisendamine

Irratsionaalsete avaldiste teisendamiseks, mis sisaldavad juurmärgi all mitte ainult numbreid, vaid ka muutujaid, tuleb hoolikalt rakendada selle artikli esimeses lõigus loetletud juurte omadusi. See on enamasti tingitud tingimustest, millele valemitesse kaasatud numbrid peavad vastama. Näiteks valemi põhjal saab avaldise asendada avaldisega ainult nende x väärtuste jaoks, mis vastavad tingimustele x≥0 ja x+1≥0, kuna määratud valem on määratud a≥0 ja b jaoks ≥0.

Millised on nende tingimuste eiramise ohud? Vastust sellele küsimusele näitab selgelt järgmine näide. Oletame, et peame arvutama avaldise väärtuse x=−2. Kui asendame muutuja x asemel kohe arvu −2, saame vajaliku väärtuse . Nüüd kujutame ette, et mõne kaalutluse põhjal teisendasime antud avaldise vormiks ja alles pärast seda otsustasime väärtuse arvutada. Asendame x arvuga −2 ja saame avaldise , millel pole mõtet.

Vaatame, mis juhtub muutuja x lubatud väärtuste vahemikuga (APV) avaldiselt avaldisele liikudes. Me ei maininud ODZ-d juhuslikult, kuna see on tõsine tööriist tehtud teisenduste lubatavuse jälgimiseks ja ODZ-i muutus pärast avaldise teisendamist peaks vähemalt punaseid lippe tõstma. Nende väljendite ODZ leidmine pole keeruline. Kui avaldis ODZ määratakse võrratusest x·(x+1)≥0, siis selle lahendus annab arvulise hulga (−∞, −1]∪∪)