На этом уроке мы рассмотрим криволинейное движение, а именно равномерное движение тела по окружности. Мы узнаем, что такое линейная скорость, центростремительное ускорение при движении тела по окружности. Также введем величины, которые характеризуют вращательное движение (период вращения, частота вращения, угловая скорость), и свяжем эти величины между собой.
Под равномерным движением по окружности понимают, что тело за любой одинаковый промежуток времени поворачивается на одинаковый угол (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равномерное движение по окружности
То есть модуль мгновенной скорости не меняется:
Такую скорость называют линейной .
Хотя модуль скорости не меняется, направление скорости изменяется непрерывно. Рассмотрим векторы скорости в точках A и B (см. Рис. 7). Они направлены в разные стороны, поэтому не равны. Если вычесть из скорости в точке B скорость в точке A , получаем вектор .
Рис. 7. Векторы скорости
Отношение изменения скорости () ко времени, за которое это изменение произошло (), является ускорением.
Следовательно, любое криволинейное движение является ускоренным .
Если рассмотреть треугольник скоростей, полученный на рисунке 7, то при очень близком расположении точек A и B друг к другу угол (α) между векторами скорости будет близок к нулю:
Также известно, что этот треугольник равнобедренный, поэтому модули скоростей равны (равномерное движение):
Следовательно, оба угла при основании этого треугольника неограниченно близки к :
Это означает, что ускорение, которое направлено вдоль вектора , фактически перпендикулярно касательной. Известно, что линия в окружности, перпендикулярная касательной, является радиусом, поэтому ускорение направлено вдоль радиуса к центру окружности. Называется такое ускорение центростремительным.
На рисунке 8 изображены рассмотренный ранее треугольник скоростей и равнобедренный треугольник (две стороны являются радиусами окружности). Эти треугольники являются подобными, так как у них равны углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми (радиус, как и вектор перпендикулярны к касательной).
Рис. 8. Иллюстрация к выводу формулы центростремительного ускорения
Отрезок AB является перемещением (). Мы рассматриваем равномерное движение по окружности, поэтому:
Подставим полученное выражение для AB в формулу подобия треугольников:
Понятий «линейная скорость», «ускорение», «координата» не достаточно для того, чтобы описать движение по кривой траектории. Поэтому необходимо ввести величины, характеризующие вращательное движение.
1. Периодом вращения (T ) называется время одного полного оборота. Измеряется в системе СИ в секундах.
Примеры периодов: Земля вращается вокруг своей оси за 24 часа (), а вокруг Солнца - за 1 год ().
Формула для вычисления периода:
где - полное время вращения; - число оборотов.
2. Частота вращения (n ) - число оборотов, которое тело совершает в единицу времени. Измеряется в системе СИ в обратных секундах.
Формула для нахождения частоты:
где - полное время вращения; - число оборотов
Частота и период - обратно пропорциональные величины:
3. Угловой скоростью () называют отношение изменения угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое этот поворот произошел. Измеряется в системе СИ в радианах, деленных на секунды.
Формула для нахождения угловой скорости:
где - изменение угла; - время, за которое произошел поворот на угол .
Равномерное движение по окружности – это простейший пример . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .
При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение () a n или а ЦС. В каждой точке вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.
Модуль центростремительного ускорения равен
a ЦС =v 2 / R
Где v – линейная скорость, R – радиус окружности
Рис. 1.22. Движение тела по окружности.
Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то
1 радиан= l / R
Так как длина окружности равна
l = 2πR
360 о = 2πR / R = 2π рад.
Следовательно
1 рад. = 57,2958 о = 57 о 18’
Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:
ω = φ / t
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:
v= l / t
Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением
l = Rφ
где R – радиус окружности.
Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:
v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω
Рис. 1.23. Радиан.
Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.
n = 1 / T
За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда
T = 2π / ω
То есть угловая скорость равна
ω = 2π / T = 2πn
Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:
a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Среди различных видов криволинейного движения особый интерес представляет равномерное движение тела по окружности . Это самый простой вид криволинейного движения. Вместе с тем любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности .
Такое движение совершают точки вращающихся колес, роторов турбин, искуственные спутники, вращающиеся по орбитам и т. д. При равномерном движении по окружности численное значение скорости остается постоянным. Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется.
Скорость движения тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. В этом можно убедиться, наблюдая за работой точила, имеющего форму диска: прижав к вращающемуся камню конец стального прута можно увидеть отрывающиеся от камня раскаленные частицы. Эти частицы летят с той скоростью, которой они обладали в момент отрыва от камня. Направление вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где пруток касается камня. По касательной к окружности движутся также брызги от колес буксующего автомобиля.
Таким образом, мгновенная скорость тела в разных точках криволинейной траектории имеет различные направления, тогда как модуль скорости может быть или всюду одинаковым, или изменяться от точки к точке. Но даже если модуль скорости не изменяется, ее все равно нельзя считать постоянной. Ведь скорость - величина векторная, а для векторных величин модуль и направление одинаково важны. Поэтому криволинейное движение всегда ускоренное , даже если модуль скорости постоянен.
При криволинейном движении могут изменяться модуль скорости и ее направление. Криволинейное движение, при котором модуль скорости остается постоянным, называют равномерным криволинейным движением . Ускорение при таком движении связано только с изменением направления вектора скорости.
И модуль, и направление ускорения должны зависеть от формы кривлинейной траектории. Однако нет необходимости рассматривать каждую из ее бесчисленных форм. Представив каждый участок как отдельную окружность с некоторым радиусом, задача нахождения ускорения при криволинейном равномерном движении сведется к отысканию ускорения при равномерном движении тела по окружности.
Равномерное движение по окружности характеризуется периодом и частотой обращения.
Время, за которое тело делает один оборот, называют периодом обращения .
При равномерном движении по окружности период обращения определяется делением пройденного пути, т. е. длины окружности на скорость движения:
Величина, обратная периоду, называется частотой обращения , обозначается буквой ν . Число оборотов в единицу времени ν называют частотой обращения :
Из-за непрерывного изменения направления скорости, движущееся по окружности тело имеет ускорение, которое характеризует быстроту изменения ее направления, численное значение скорости в данном случае не меняется.
При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее точке всегда направлено перпендикулярно скорости движения по радиусу окружности к ее центру и называется центростремительным ускорением .
Чтобы найти его значение, рассмотрим отношение изменения вектора скорости к интервалу времени , за который это изменение произошло. Поскольку угол очень мал, то мы имеем.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Важным частным случаем движения частицы по заданной траектории является движение по окружности. Положение частицы на окружности (рис. 46) можно задавать, указывая не расстояние от некоторой начальной точки А, а угол образуемый радиусом, проведенным из центра О окружности к частице, с радиусом, проведенным в начальную точку А.
Наряду со скоростью движения по траектории, которая определяется как
удобно ввести угловую скорость, характеризующую быстроту изменения угла
Скорость движения по траектории называют также линейной скоростью. Установим связь между линейной и угловой скоростями. Длина дуги I, стягивающей угол равна где - радиус окружности, а угол измерен в радианах. Поэтому и угловая скорость со связана с линейной скоростью соотношением
Рис. 46. Угол задает положение точки на окружности
Ускорение при движении по окружности, как и при произвольном криволинейном движении, имеет в общем случае две составляющие: тангенциальную, направленную по касательной к окружности и характеризующую быстроту изменения величины скорости и нормальную, направленную к центру окружности и характеризующую быстроту изменения направления скорости.
Значение нормальной составляющей ускорения, называемой в этом случае (движение по окружности) центростремительным ускорением, дается общей формулой (3) § 8, в которой теперь линейную скорость можно выразить через угловую скорость с помощью формулы (3):
Здесь радиус окружности, разумеется, одинаков для всех точек траектории.
При равномерном движении по окружности, когда значение постоянно, угловая скорость со, как видно из (3), тоже постоянна. В этом случае ее иногда называют циклической частотой.
Период и частота. Для характеристики равномерного движения по окружности наряду с со удобно использовать период обращения Т, определяемый как время, в течение которого совершается один полный оборот, и частоту - величину, обратную периоду Т, которая равна числу оборотов за единицу времени:
Из определения (2) угловой скорости следует связь между величинами
Это соотношение позволяет записать формулу (4) для центростремительного ускорения еще и в таком виде:
Отметим, что угловая скорость со измеряется в радианах в секунду, а частота - в оборотах в секунду. Размерности со и одинаковы так как эти величины различаются лишь числовым множителем
По кольцевой дороге. Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса (рис. 47). Вагончик перемещается по ним, подталкиваемый стержнем который поворачивается с постоянной угловой скоростью вокруг точки лежащей внутри кольца почти у самых рельсов. Как изменяется скорость вагончика при его движении?
Рис. 47. К нахождению угловой скорости при движении по кольцевой дороге
Решение. Угол образуемый стержнем с некоторым направлением, изменяется со временем по линейному закону: . В качестве направления, от которого отсчитывается угол удобно взять диаметр окружности, проходящий через точку (рис. 47). Точка О - центр окружности. Очевидно, что центральный угол определяющий положение вагончика на окружности, в два раза больше вписанного угла опирающегося на ту же дугу: Поэтому угловая скорость со вагончика при движении по рельсам вдвое больше угловой скорости с которой поворачивается стержень:
Таким образом, угловая скорость со вагончика оказалась постоянной. Значит, вагончик движется по рельсам равномерно. Его линейная скорость неизменна и равна
Ускорение вагончика при таком равномерном движении по окружности всегда направлено к центру О, а его модуль дается выражением (4):
Посмотрите на формулу (4). Как ее следует понимать: ускорение все-таки пропорционально или обратно пропорционально ?
Объясните, почему при неравномерном движении по окружности угловая скорость со сохраняет свой смысл, а теряют смысл?
Угловая скорость как вектор. В некоторых случаях угловую скорость удобно рассматривать как вектор, модуль которого равен а неизменное направление перпендикулярно плоскости, в которой лежит окружность. С помощью такого вектора можно записать формулу, аналогичную (3), которая выражает вектор скорости частицы, движущейся по окружности.
Рис. 48. Вектор угловой скорости
Поместим начало отсчета в центр О окружности. Тогда при движении частицы ее радиус-вектор будет только поворачиваться с угловой скоростью со, а его модуль все время равен радиусу окружности (рис. 48). Видно, что вектор скорости направленный по касательной к окружности, можно представить как векторное произведение вектора угловой скорости со на радиус-вектор частицы:
Векторное произведение. По определению векторное произведение двух векторов представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Выбор направления векторного произведения производится по следующему правилу. Первый сомножитель мысленно поворачивается в сторону второго, как если бы это была рукоятка гаечного ключа. Векторное произведение направлено в ту же сторону, куда при этом стал бы перемещаться винт с правой резьбой.
Если сомножители в векторном произведении поменять местами, то оно изменит направление на противоположное: Это значит, что векторное произведение некоммутативно.
Из рис. 48 видно, что формула (8) будет давать правильное направление для вектора если вектор со направлен именно так, как показано на этом рисунке. Поэтому можно сформулировать следующее правило: направление вектора угловой скорости совпадает с направлением движения винта с правой резьбой, головка которого поворачивается в ту же сторону, в которую движется частица по окружности.
По определению модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла а между ними:
В формуле (8) перемножаемые векторы со и перпендикулярны друг другу, поэтому как и должно быть в соответствии с формулой (3).
Что можно сказать о векторном произведении двух параллельных векторов?
Как направлен вектор угловой скорости стрелки часов? Чем различаются эти векторы для минутной и часовоой стрелок?
