Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 7. ročník
Elektronická učebnica podľa učebnice Yu.N. Makarycheva
Elektronická učebnica podľa učebnice Sh.A. Alimova
Chlapci, monomiály ste už študovali v téme: Štandardná forma jednočlena. Definície. Príklady. Zopakujme si základné definície.
Monomiálny– výraz pozostávajúci zo súčinu čísel a premenných. Premenné môžu byť povýšené na prirodzené sily. Monomial neobsahuje žiadne operácie okrem násobenia.
Štandardná forma monomiálu- tento typ, keď je na prvom mieste koeficient (číselný faktor), po ktorom nasledujú stupne rôznych premenných.
Podobné monomiály– ide buď o identické jednočleny, alebo o jednočleny, ktoré sa navzájom líšia koeficientom.
Monomály, ktoré tvoria polynóm, sa nazývajú členy polynómu. Ak existujú dva členy, potom máme do činenia s dvojčlenkou, ak sú tri, potom s trojčlenkou. Ak je výrazov viac, ide o polynóm.
Príklady polynómov.
1) 2аb + 4сd (binomické);
2) 4ab + 3cd + 4x (trojčlenný);
3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xu 3;
3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xu - 5xy 2.
Zapíšme si výraz a + b - c(súhlasme s tým a ≥ 0, b ž 0 a c ž 0) a odpovedzte na otázku: je to súčet alebo rozdiel? Ťažko povedať.
Ak totiž výraz prepíšeme ako a + b + (-c), dostaneme súčet dvoch kladných a jedného záporného člena.
Ak sa pozriete na náš príklad, máme do činenia konkrétne so súčtom monočlenov s koeficientmi: 3, - 2, 7, -5. V matematike existuje pojem „algebraický súčet“. V definícii polynómu teda máme na mysli „algebraický súčet“.
Ale zápis tvaru 3a: b + 7c nie je polynóm, pretože 3a: b nie je jednočlen.
Zápis tvaru 3b + 2a * (c 2 + d) tiež nie je polynóm, keďže 2a * (c 2 + d) nie je jednočlen. Ak otvoríte zátvorky, výsledný výraz bude polynóm.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.
Polynomický stupeň je najvyšší stupeň jej členov.
Polynóm a 3 b 2 + a 4 má piaty stupeň, pretože stupeň jednočlenu a 3 b 2 je 2 + 3 = 5 a stupeň jednočlenu a 4 je 4.
Polynóm je uvedený do štandardného tvaru, aby sa odstránilo zbytočné ťažkopádne písanie a zjednodušili sa s ním ďalšie akcie.
Veď načo napríklad písať dlhý výraz 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, keď sa dá napísať kratší ako 9b 2 + 3a 2 + 8.
Ak chcete preniesť polynóm do štandardného tvaru, musíte:
1. priviesť všetkých svojich členov na štandardnú formu,
2. pridajte podobné (rovnaké alebo s rôznymi číselnými koeficientmi) výrazy. Tento postup sa často nazýva prinášajúce podobné.
Príklad.
Znížte polynóm aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 na štandardný tvar.
Riešenie.
a 2 b + 2 x 5 r 2 + x 5 r 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 r 2 + 14.
Určme mocniny jednočlenov zahrnutých vo výraze a zoraďme ich v zostupnom poradí.
11a 2 b má tretí stupeň, 3 x 5 y 2 má siedmy stupeň, 14 má nulový stupeň.
To znamená, že na prvé miesto dáme 3 x 5 y 2 (7. stupeň), na druhé 12a 2 b (3. stupeň) a na tretie miesto 14 (nultý stupeň).
Výsledkom je polynóm štandardného tvaru 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.
1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50* (2 a 2 b 3 - 4 x 2 y + 7ac - 6);
2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);
3) 4x 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5x 6 - 19bc - 6a);
4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).
Ciele: zovšeobecňovanie a upevňovanie preberanej látky: zopakovať si pojem polynóm, pravidlo o násobení mnohočlenu mnohočlenom a upevňovať toto pravidlo počas testovacej práce, upevňovať zručnosti pri riešení rovníc a úloh pomocou rovníc.
Vybavenie: plagát „Kto od mladosti robí a premýšľa sám za seba, stáva sa neskôr spoľahlivejším, silnejším, múdrejším“ (V. Shukshin). Spätný projektor, magnetická tabuľa, krížovka, testovacie kartičky.
Plán lekcie.
1. Organizačný moment.
2. Kontrola domácich úloh.
3. Ústne cvičenia (krížovka).
4. Riešenie úloh na danú tému.
5. Test na tému: „Polynómy a operácie s nimi“ (4 možnosti).
6. Zhrnutie lekcie.
7. Domáce úlohy.
Počas vyučovania
I. Organizačný moment
Žiaci v triede sú rozdelení do skupín po 4-5 ľuďoch, vyberie sa najstarší zo skupiny.
II. Kontrola domácich úloh.
Žiaci si doma pripravujú domácu úlohu na kartičke. Každý žiak si svoju prácu skontroluje cez spätný projektor. Učiteľ ponúkne, že vyhodnotí domácu úlohu pre samotného študenta a umiestni známku na hárok správy s uvedením hodnotiaceho kritéria: „5“ ─ úloha bola dokončená správne a nezávisle; „4“ ─ úloha bola dokončená správne a úplne, ale s pomocou rodičov alebo spolužiakov; „3“ ─ vo všetkých ostatných prípadoch, ak je úloha dokončená. Ak úloha nie je dokončená, môžete vložiť pomlčku.
III. Ústne cvičenia.
1) Na zopakovanie si teoretických otázok je študentom ponúknutá krížovka. Krížovku rieši skupina ústne a odpovede dávajú žiaci z rôznych skupín. Hodnotíme: „5“ ─ 7 správnych slov, „4“ ─ 5,6 správnych slov, „3“ ─ 4 správne slová.
Otázky do krížovky: (viď. Príloha 1)
2) Postupujte podľa týchto krokov:
3. Ak sa dĺžka obdĺžnika zmenší o 4 cm a jeho šírka sa zväčší o 7 cm, dostanete štvorec, ktorého plocha bude o 100 cm 2 väčšia ako plocha obdĺžnika. Určte stranu štvorca. (Strana štvorca je 24 cm).
Žiaci riešia úlohy v skupinách, diskutujú a navzájom si pomáhajú. Keď skupiny dokončia úlohu, skontrolujú sa podľa riešení napísaných na tabuli. Po kontrole sa prideľujú známky: za túto prácu žiaci dostávajú dve známky: sebahodnotenie a skupinové hodnotenie. Hodnotiace kritérium: „5“ ─ vyriešil všetko správne a pomohol svojim súdruhom, „4“ ─ urobil chyby pri riešení, ale opravil ich s pomocou súdruhov, „3“ ─ sa zaujímal o riešenie a všetko vyriešil pomocou spolužiakov.
V. Skúšobná práca.
Možnosť I
1. Prezentujte v štandardnom tvare polynóm 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.
3. Nájdite rozdiel polynómov 2x 2 – x + 2 a ─ 3x 2 ─2x + 1.
5. Prezentujte výraz ako polynóm: 2 – (3a – 1)(a + 5).
Možnosť II
1. Prezentujte v štandardnom tvare polynóm 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.
3. Nájdite rozdiel polynómov 4y 2 – 2y + 3 a - 2y 2 + 3y +2.
5. Vyriešte rovnicu: ─3x 2 + 5x = 0.
1) x = |
2) x = 0 a x = |
6. Prezentujte ako produkt: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.
Možnosť III
1. Nájdite hodnotu polynómu ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) s а = ─, b=─3.
1) |
2. Zjednodušte výraz: ─8x – (5x – (3x – 7)).
4. Násobenie: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)
6. Prezentujte ho ako produkt: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.
1) (x 2 + 2) (3x + 2) |
2) (x 2 – 2) (3x + 2) |
7. Prezentujte výraz ako súčin: a(x – y) ─2b(y – x)
1) (x – y) (a ─ 2b) |
2) (y – x) (a ─ 2b) |
IV možnosť
1. Nájdite hodnotu polynómu ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) s a= ─, x= ─ 2.
2. Zjednodušte výraz: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).
4. Vykonajte násobenie: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).
6. Vyjadrite to ako polynóm: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).
1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8 |
2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x |
7. Uveďte výraz ako súčin: 2c(b – a) – d(a – b)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VI. Zhrnutie lekcie
Počas vyučovacej hodiny každý žiak dostane niekoľko známok. Žiak sám hodnotí svoje vedomosti porovnaním s poznatkami iných. Skupinové hodnotenie je efektívnejšie, pretože o hodnotení diskutujú všetci členovia skupiny. Chlapci upozorňujú na nedostatky a nedostatky v práci členov skupiny. Všetky známky zapisuje do pracovnej karty vedúci skupiny.
Učiteľ udelí výslednú známku a oznámi ju celej triede.
VII. Domáca úloha:
1. Postupujte podľa týchto krokov:
a) (a 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5r 2)(2x 2 – 3r).
2. Vyriešte rovnicu:
a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.
3. Ak sa jedna strana štvorca zmenší o 1,2 m a druhá o 1,5 m, potom bude plocha výsledného obdĺžnika o 14,4 m 2 menšia ako plocha daného štvorca. Určte stranu štvorca.
Korešpondenčná škola 7. ročník. Úloha č.2.
Metodická príručka č.2.
motívy:
Polynómy. Súčet, rozdiel a súčin polynómov;
Riešenie rovníc a problémov;
Faktorizácia polynómov;
Skrátené vzorce násobenia;
Problémy na samostatné riešenie.
Polynómy. Súčet, rozdiel a súčin polynómov.
Definícia. Polynóm sa nazýva súčet monomilov.
Definícia. Monomály, z ktorých sa polynóm skladá, sa nazývajú členy polynómu.
Násobenie jednočlenu mnohočlenom .
Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým členom polynómu a pridať výsledné produkty.
Násobenie polynómu polynómom .
Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom iného polynómu a pridať výsledné produkty.
Príklady riešenia problémov:
Zjednodušte výraz:
Riešenie.
Riešenie:
Keďže podľa podmienky koeficient pri 
musí sa teda rovnať nule
Odpoveď: -1.
Riešenie rovníc a úloh.
Definícia . Rovnosť obsahujúca premennú sa nazýva rovnica s jednou premennou alebo rovnica s jednou neznámou.
Definícia . Koreň rovnice (riešenie rovnice) je hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou.
Riešenie rovnice znamená nájsť veľa koreňov.
Definícia.
Rovnica formulára 
, Kde X
premenlivý, a
A b
– niektoré čísla sa nazývajú lineárne rovnice s jednou premennou.
Definícia.
Kopa korene lineárnej rovnice môžu:
Príklady riešenia problémov:
Je dané číslo 7 koreňom rovnice:
Riešenie:
Teda x=7 je koreň rovnice.
Odpoveď: Áno.
Riešte rovnice:
 |
|||
|
Riešenie: |
|||
|
Odpoveď: -12 |
Odpoveď: -0,4 |
||
Z móla do mesta vyrazila loď rýchlosťou 12 km/h a o pol hodiny neskôr sa týmto smerom vydal parník rýchlosťou 20 km/h. Aká je vzdialenosť od móla do mesta, ak parník dorazil do mesta 1,5 hodiny pred loďou?
Riešenie:
Označme x vzdialenosť od móla k mestu.
|
Rýchlosť (km/h) |
Čas (h) |
Cesta (km) |
|
|
čln |
|
||
|
Parník |
|
Podľa podmienok problému loď strávila o 2 hodiny viac času ako parník (keďže loď odišla z móla o pol hodiny neskôr a do mesta dorazila 1,5 hodiny pred loďou).
Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
60 km – vzdialenosť od móla do mesta.
Odpoveď: 60 km.
Dĺžka obdĺžnika sa zmenšila o 4 cm a získal sa štvorec, ktorého plocha bola o 12 cm² menšia ako plocha obdĺžnika. Nájdite oblasť obdĺžnika.
Riešenie:
Nech x je strana obdĺžnika.
|
Dĺžka |
šírka |
Námestie |
|
|
Obdĺžnik |
x(x-4) |
||
|
Námestie |
(x-4) (x-4) |
Podľa podmienok problému je plocha štvorca o 12 cm² menšia ako plocha obdĺžnika.
Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
7 cm je dĺžka obdĺžnika.
(cm²) – plocha obdĺžnika.
Odpoveď: 21 cm².
Plánovanú trasu prešli turisti za tri dni. Prvý deň prešli 35% plánovanej trasy, druhý - o 3 km viac ako prvý a tretí - zvyšných 21 km. Aká dlhá je trasa?
Riešenie:
Nech x je dĺžka celej trasy.
|
1 deň |
2. deň |
3. deň |
|
|
Dlžka cesty |
0,35x+3 |
||
|
Celková dĺžka trasy bola x km. |
|||
Takto vytvoríme a vyriešime rovnicu:
0,35x+0,35x+21=x
0,7x+21=x
0,3x=21
Dĺžka celej trasy 70 km.
Odpoveď: 70 km.
Faktorizácia polynómov.
Definícia . Znázornenie polynómu ako súčinu dvoch alebo viacerých polynómov sa nazýva faktorizácia.
Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek .
Príklad :
Metóda zoskupovania .
Zoskupenie musí byť vykonané tak, aby každá skupina mala spoločný činiteľ, navyše po odstránení spoločného činiteľa v každej skupine musia mať aj výsledné výrazy spoločný činiteľ.
Príklad :
Skrátené vzorce násobenia.
Súčin rozdielu dvoch výrazov a ich súčtu sa rovná rozdielu druhých mocnín týchto výrazov.
Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov sa rovná druhej mocnine prvého výrazu plus dvojnásobku súčinu prvého a druhého výrazu plus druhej mocniny druhého výrazu. riešenia. 1. Nájdite zvyšok delenia polynóm x6 – 4x4 + x3 ... nemá riešenia, A rozhodnutia druhým sú dvojice (1; 2) a (2; 1). Odpoveď: (1; 2), (2; 1). Úlohy Pre nezávislý riešenia. Vyriešte systém...
Každý odsek uvádza požadovanú sumu úlohy Pre nezávislý riešenia v poradí narastajúcej náročnosti. ...rozkladový algoritmus polynóm mocninou binomickej; polynómy s komplexnými koeficientmi; polynómy s platným...
Rovnica je ekvivalentná rovnici P(x) = Q(X), kde P(x) a Q(x) sú nejaké polynómy s jednou premennou x Prenesenie Q(x) na ľavú stranu... = . ODPOVEĎ: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ÚLOHY PRE NEZÁVISLÝ RIEŠENIA. Vyriešte nasledujúce rovnice: x4 – 8x...
Algebrická veta, Vietova veta Pre kvadratická trojčlenka a Pre polynómľubovoľný stupeň, veta o racionálnom... materiálnom. Nie je to len zoznam úlohy Pre nezávislý riešenia, ale aj úlohou vytvoriť vývojový model...
Definícia 3.3. Monomiálny je výraz, ktorý je súčinom čísel, premenných a mocnín s prirodzeným exponentom.
Napríklad každý z výrazov, 
,
je jednočlenný.
Hovoria, že monomial má štandardný pohľad , ak obsahuje na prvom mieste iba jeden číselný faktor a každý súčin identických premenných v ňom je reprezentovaný stupňom. Číselný činiteľ jednočlena zapísaného v štandardnom tvare sa nazýva koeficient monomiálu . Silou monomiálu sa nazýva súčet exponentov všetkých jeho premenných.
Definícia 3.4. Polynóm nazývaný súčet monomilov. Monomály, z ktorých sa polynóm skladá, sa nazývajúčleny polynómu .
Podobné termíny – monočleny v polynóme – sa nazývajú podobné členy polynómu .
Definícia 3.5. Polynóm štandardného tvaru nazývaný polynóm, v ktorom sú všetky pojmy napísané v štandardnom tvare a sú uvedené podobné pojmy.Stupeň polynómu štandardného tvaru sa nazýva najväčšia z mocností monomilov, ktoré sú v nej zahrnuté.
Napríklad je to polynóm štandardnej formy štvrtého stupňa.
Súčet a rozdiel polynómov možno previesť na polynóm štandardného tvaru. Pri sčítaní dvoch polynómov sa všetky ich členy zapíšu a uvedú sa podobné členy. Pri odčítaní sa obrátia znamienka všetkých členov odčítaného polynómu.
Napríklad:
Termíny polynómu možno rozdeliť do skupín a uzavrieť ich do zátvoriek. Keďže ide o identickú transformáciu inverznú k otvoreniu zátvoriek, platí nasledovné pravidlo bracketingu: ak je znamienko plus umiestnené pred zátvorkami, potom všetky výrazy v zátvorkách sú napísané so svojimi znamienkami; Ak je pred zátvorkami umiestnené znamienko mínus, všetky výrazy v zátvorkách sú napísané opačnými znamienkami.
Napríklad,
Pravidlo pre násobenie polynómu polynómom: Na vynásobenie polynómu polynómom stačí vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom iného mnohočlenu a výsledné súčiny sčítať.
Napríklad,
Definícia 3.6. Polynóm v jednej premennej 
stupňa 
nazývaný výraz formy
Kde 
- akékoľvek volané čísla polynomické koeficienty
, a 
,
– nezáporné celé číslo.
Ak 
, potom koeficient 
volal vodiaci koeficient polynómu
, jednočlenný 
- jeho starší člen
, koeficient 
–
voľný člen
.
Ak namiesto premennej 
na polynóm 
nahradiť skutočné číslo 
, potom výsledkom bude reálne číslo 
ktorá sa volá hodnotu polynómu
pri 
.
Definícia 3.7.
číslo 
volalkoreň polynómu
, Ak
.
Zvážte delenie polynómu polynómom, kde 
A 
- celé čísla. Delenie je možné, ak je stupeň polynomickej dividendy 
nie menší ako stupeň deliaceho polynómu 
, teda 
.
Rozdeľte polynóm 
na polynóm 
,
, znamená nájsť dva takéto polynómy 
A 
, do
V tomto prípade polynóm 
stupňa 
volal polynóm-kvocient
,
–
zvyšok
,
.
Poznámka 3.2.
Ak je deliteľ
–nie je nulový polynóm, potom delenie 
na 
,
, je vždy uskutočniteľné a kvocient a zvyšok sú jednoznačne určené.
Poznámka 3.3.
V prípade
pred všetkými 
, teda
hovoria, že je to polynóm
úplne rozdelené(alebo akcie)na polynóm
.
Delenie polynómov sa vykonáva podobne ako pri delení viacciferných čísel: najprv sa vedúci člen deliteľného polynómu vydelí vedúcim členom deliaceho polynómu, potom podiel z delenia týchto členov, ktorý bude vedúci člen kvocientového polynómu sa vynásobí deliteľovým polynómom a výsledný súčin sa odpočíta od deliteľného polynómu . V dôsledku toho sa získa polynóm - prvý zvyšok, ktorý sa podobným spôsobom vydelí deliteľným polynómom a nájde sa druhý člen kvocientového polynómu. Tento proces pokračuje, kým sa nezíska nulový zvyšok alebo kým stupeň zvyškového polynómu nie je menší ako stupeň deliaceho polynómu.
Pri delení polynómu binomom môžete použiť Hornerovu schému.
Hornerova schéma
Predpokladajme, že chceme rozdeliť polynóm
binomicky 
. Označme podiel delenia ako polynóm
a zvyšok je 
. Význam 
, polynomické koeficienty 
,
a zvyšok 
Napíšme to v nasledujúcom tvare:
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V tejto schéme každý z koeficientov
,
,
,
…,
získané z predchádzajúceho čísla v spodnom riadku vynásobením číslom 
a pripočítaním k výslednému výsledku zodpovedajúce číslo v hornom riadku nad požadovaným koeficientom. Ak nejaký stupeň 
v polynóme chýba, potom je príslušný koeficient nulový. Po určení koeficientov podľa danej schémy zapíšeme kvocient
a výsledok delenia ak 
,
alebo ,
Ak 
,
Veta 3.1.
Aby bol nezredukovateľný zlomok 
(
,
)bol koreňom polynómu 
pri celočíselných koeficientoch je potrebné, aby počet 
bol deliteľom voľného termínu 
, a číslo 
- deliteľ vedúceho koeficientu 
.
Veta 3.2.
(Bezoutova veta
)
Zvyšok 
z delenia polynómu 
binomicky 
rovná hodnote polynómu 
pri 
, teda 
.
Pri delení polynómu 
binomicky 
máme rovnosť
Platí to najmä vtedy, keď 
, teda 
.
Príklad 3.2. Deliť podľa 
.
Riešenie. Aplikujme Hornerovu schému:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teda
Príklad 3.3. Deliť podľa 
.
Riešenie. Aplikujme Hornerovu schému:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teda
,
Príklad 3.4. Deliť podľa 
.
Riešenie.
V dôsledku toho dostaneme
Príklad 3.5. Rozdeliť 
na 
.
Riešenie. Rozdeľme polynómy podľa stĺpcov:
|
|
Potom dostaneme
.
Niekedy je užitočné reprezentovať polynóm ako rovnaký súčin dvoch alebo viacerých polynómov. Takáto transformácia identity sa nazýva faktorizácia polynómu . Pozrime sa na hlavné metódy takéhoto rozkladu.
Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek. Ak chcete rozdeliť polynóm vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek, musíte:
1) nájdite spoločný faktor. Na tento účel, ak sú všetky koeficienty polynómu celé čísla, najväčší modulový spoločný deliteľ všetkých koeficientov polynómu sa považuje za koeficient spoločného faktora a každá premenná zahrnutá vo všetkých členoch polynómu sa berie s najväčším exponent, ktorý má v tomto polynóme;
2) nájdite podiel delenia daného polynómu spoločným faktorom;
3) zapíšte súčin všeobecného faktora a výsledného kvocientu.
Zoskupovanie členov. Pri faktorizácii polynómu pomocou metódy zoskupovania sa jeho členy rozdelia do dvoch alebo viacerých skupín tak, aby sa každá z nich dala previesť na súčin a výsledné produkty by mali spoločný faktor. Potom sa použije metóda zátvorky spoločného činiteľa novo transformovaných pojmov.
Aplikácia skrátených vzorcov násobenia. V prípadoch, keď sa polynóm rozšíri na faktory, má tvar pravej strany ľubovoľného skráteného vzorca násobenia jeho rozklad sa dosiahne použitím zodpovedajúceho vzorca napísaného v inom poradí;
Nechaj 
, potom platí nasledovné skrátené vzorce násobenia:
|
Pre |
|
|
Ak |
|
|
Newtonov binomický znak: Kde |
|
Zavedenie nových pomocných členov. Táto metóda spočíva v nahradení polynómu iným polynómom, ktorý sa mu identicky rovná, ale obsahuje iný počet členov, zavedením dvoch opačných členov alebo nahradením ľubovoľného členu identicky rovnakým súčtom podobných monočlenov. Nahradenie sa robí tak, že na výsledný polynóm možno použiť metódu zoskupovania členov.
Príklad 3.6..
Riešenie. Všetky členy polynómu obsahujú spoločný faktor 
. Preto,.
odpoveď: .
Príklad 3.7.
Riešenie. Pojmy obsahujúce koeficient zoskupujeme oddelene 
a podmienky obsahujúce 
. Vyňatím spoločných faktorov skupín zo zátvoriek dostaneme:
.
odpoveď:
.
Príklad 3.8. Faktor polynóm 
.
Riešenie. Použitím vhodného skráteného vzorca násobenia dostaneme:
odpoveď: .
Príklad 3.9. Faktor polynóm 
.
Riešenie. Pomocou metódy zoskupovania a zodpovedajúceho skráteného vzorca násobenia získame:
.
odpoveď: .
Príklad 3.10. Faktor polynóm 
.
Riešenie. Vymeníme 
na 
, zoskupte výrazy, použite skrátené vzorce násobenia:
.
odpoveď:
.
Príklad 3.11. Faktor polynóm
Riešenie. pretože , 
,
, To
:
zvláštny ( 
):
– počet kombinácií 
Autor: 
.
